HIPÉRBOLE

Es aquel lugar geométrico formado por los puntos de un plano, tales como el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos denominados focos (F1, F2)

PROPIEDADES.

Ecuación general de la gráfica:

(A > 0, B > 0)

Vértices: Coordenadas (+- A,0) Coordenadas (0, +- A)

Eje trasverso: Horizontal longitud 2a Vertical longitud 2a

Asíntotas:

Focos: Coordenadas (+- C,0) Coordenadas (0, +- C)

Gráficas:

(Pero) ¿Cómo diferenciar a qué lado abre la hipérbola?

- Es muy sencillo, mediante la ecuación general dada, se puede indicar a que lado abre.

Arriba y abajo, cuando la Y sea positivo.

Derecha e Izquierda, cuando la X sea positivo

Mediante estos datos, podemos obtener los siguientes puntos en el plano cartesiano de la gráfica:

- Vértices: (a,0) (-a,0) // (0,a) (0,-a)

- Interceptos: (0,b) (0,-b) // (b,0) (0,-b)

-Se hallan los focos mediante la ecuación (c,0) (-c,0) // (0,c) (0,-c)

Siendo así el mismo eje de posición de los vértices y los focos que será donde abrirá la hipérbola.

Además hallando el diámetro focal de la hipérbola se pueden ubicar 4 puntos de la hipérbola en el plano.

- El diámetro focal se representara con la letra K, el cual es representado con una coordenada siendo el foco:

Cuando el foco se encuentra en el eje X, el diámetro focal será el foco en la eje X y el eje Y siendo una incógnita se hallara con la ecuación general.

Cuando el foco se encuentra en el eje Y, el diámetro focal será el foco en la eje Y y el eje X siendo una incógnita se hallara con la ecuación general.

Despejando X o Y según corresponda

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Ejemplos: Desarrolle las siguientes ecuaciones

A.

- Evidenciando la ecuación general dada, vamos acomodandola a los términos dados.

- Dividimos el 144 en el mismo para que resulte en 1 y de la misma forma en el lado izquierdo.

- Simplificamos las fracciones obtenidas.

- Se saca la respectiva raíz en A y B para llegar a la ecuación general de la hipérbola

Así, llegando a la ecuación podemos concluir:

Vértices: (4,0) (-4,0) ----- A

Interceptos: (0,3) (0,-3) ----- B

- Hacemos uso de la ecuación para hallar C que serán nuestros focos.

-Remplazamos los términos y son elevados al cuadrado respectivamente.

-Se suma y se saca su raíz.

- Focos: (5,0) (-5,0) ----- C

Con las coordenada del foco se puede hallar el diámetro focal.

-Reemplazando el foco en el eje X y teniendo de incógnita el eje Y.

- Mediante la ecuación general dada o la resultante podemos reemplazar los términos.

-Se reemplaza el 5 en x, y se empieza a desarrollar.

-Se pasan al lado izquierdo los números y al lado derecho las incógnitas.

-El 16 que estaba multiplicando, se pasa a dividir.

- Se saca la raíz en ambos lados respectivamente y así eliminar el cuadrado.

- Diámetro focal: (5, 9/4) (-5, 9/4)

(5, -9/4)(-5, -9/4)

- Y finalmente hallamos las Asíntotas reemplazando los términos de A y B según corresponda.

B.

- Ya que el número del lado derechos es negativo, se multiplica todo por (-1) para cambiar signos.

-Se acomoda la ecuación resultante.

- Se divide el número del lado derecho en el mismo y de la misma forma en el lado izquierdo.

-Se simplifican términos

-Se saca la respectiva raíz dando como resultado la ecuación general de la hipérbola.

- Se usa la ecuación para hallar C, que serán nuestros focos.

- Se reemplazan términos elevados al cuadrado, se suman y se saca la raíz cuadrada.

- Al hallar las coordenadas del foco, se puede sacar K que es el diámetro focal para trazar la hipérbola

- Estando el foco en el eje Y, se reemplaza en la ecuación general y se hallar el eje X

- Se reemplaza el valor de Y en la ecuación general.

- Se pasan términos numéricos a un lado e incógnitas al otro lado.

-Se suman y se saca la respectiva raíz para eliminar el cuadrado.

- Diámetro focal:

- Finalmente se hallan las asíntotas de esta hipérbole, remplazando los términos de A y B según correspondan