ELIPSE

Es la serie de todos los puntos del plana, cuya suma de distancias desde los 2 puntos (F1 y F2) es una constante.

El centro en el origen.

(Nota: La expresión "2" hace referencia a que se esta elevando al "cuadrado")

PROPIEDADES:

-Ecuación general de la gráfica:

- Vértice: Coordenadas (+- A,0) Coordenadas (0, +- A)

A > B > 0

- Eje mayor: Horizontal longitud 2a Vertical longitud 2a

- Eje menor: Vertical longitud 2a Horizontal longitud 2a

- Foco: Coordenadas (+- C,0) Coordenadas (0, +- C)

En ambos costados la ecuación del foco es la misma

B: interceptos

Gráficas:

Con estos datos, se concluye que se obtendrán:

Vértices: (a,0) (-a,0) // (0,a) (0.-a)

Interceptos: (0, b) (0, -b) // (b,0) (-b,0)

Se hallan los focos: (c,0) (-c,0) // (0,c) (0,-c)

Encontrándose en el mismo eje simétrico los vértices y focos. Así teniendo claro estos tres puntos, podríamos empezar con la ecuación para la gráfica

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Ejemplos:

A. Desarrolle la siguientes ecuaciones.

----- Se da una ecuación general, en la cual se tendrá que ir acomodando a la ecuación de la gráfica para la Elipse.

---- Se divide el 144 en el mismo valor, y de la misma forma que se hace un lado, se hará en el otro lado.

----- Se separa o divide la ecuación en dos, para ir así acomodando la ecuación y de esta forma se va simplificando por parte iguales.

----- De esa forma tenemos la ecuación simplificada, solo es acomodar los denominadores al cuadrado.

----- Se logra acomodar la ecuación.

Recordemos que: A > B > 0

Con esto identificamos que: A = 4

B = 2

- Vértices: (4,0) (-4,0) ----- A

- Interceptos: (0, 2) (0, -2) ------ B

---- Se utiliza la ecuación para hallar el foco

---- Se reemplazan los valores respectivo de A y B

---- Se elevan al cuadrado respectivamente

---- Para cancelar el cuadrado se le saca raíz respectiva en ambos lados

---- Resultado del foco

----- C

Otro factor de la elipse es la excentricidad, representada con la letra (e).

La ecuación que representa la excentricidad de un elipse es:

Recordemos que c = foco

Satisface que:

- Si la excentricidad (e) es mayor que 0 tendrá una forma más circular.

- Si la excentricidad (e) es mayor que 1 tendrá una forma más ovalada.

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B. Halle la ecuación de la elipse con los siguientes datos.

F: (0,8) (0, -8) - Se identifica que c = 8

- Teniendo en cuenta la ecuación de le excentricidad se relaciona con los datos obtenidos

- Al relacionar se obtendrá el valor de a.

- a = 10.

-Con los datos de a y c, se utilizará la ecuación del foco, para hallar b.

- Se reemplaza los datos respectivos de a y c.

- Luego de haber elevado al cuadrado se resta.

- Se saca raíz.

- b = 6

Recordemos que: A > B > 0

Con esto identificamos que: A = 10

B = 6

- Vértices: (0,10) (0,-10) ----- A

- Interceptos: (6, 0) (-6, 0) ------ B

- Focos: (0,8) (0,-8)

Se concluye que la ecuación es: